כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר. לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות.
כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
\(\:\)גופןmathcal: בסיסים, קבוצת חזקה, העתקות גלואה, המילטוניאן ועוד\(\:\)
\(\newcommand{\MKcla}{\mathcal{A}}\)
\(\newcommand{\MKclb}{\mathcal{B}}\)
\(\newcommand{\MKclc}{\mathcal{C}}\)
\(\newcommand{\MKcld}{\mathcal{D}}\)
\(\newcommand{\MKcle}{\mathcal{E}}\)
\(\newcommand{\MKclf}{\mathcal{F}}\)
\(\newcommand{\MKclg}{\mathcal{G}}\)
\(\newcommand{\MKclh}{\mathcal{H}}\)
\(\newcommand{\MKcli}{\mathcal{I}}\)
\(\newcommand{\MKclj}{J}\)
\(\newcommand{\MKclk}{\mathcal{K}}\)
\(\newcommand{\MKcll}{\mathcal{L}}\)
\(\newcommand{\MKclm}{\mathcal{M}}\)
\(\newcommand{\MKcln}{\mathcal{N}}\)
\(\newcommand{\MKclo}{\mathcal{O}}\)
\(\newcommand{\MKclp}{\mathcal{P}}\)
\(\newcommand{\MKclq}{\mathcal{Q}}\)
\(\newcommand{\MKclr}{\mathcal{R}}\)
\(\newcommand{\MKcls}{\mathcal{S}}\)
\(\newcommand{\MKclt}{\mathcal{T}}\)
\(\newcommand{\MKclu}{\mathcal{U}}\)
\(\newcommand{\MKclv}{\mathcal{V}}\)
\(\newcommand{\MKclw}{\mathcal{W}}\)
\(\newcommand{\MKclx}{\mathcal{X}}\)
\(\newcommand{\MKcly}{\mathcal{Y}}\)
\(\newcommand{\MKclz}{\mathcal{Z}}\)
\(\:\)גופןmathscr: ?\(\:\)
\(\newcommand{\MKsrb}{\mathscr{B}}\)
\(\newcommand{\MKsrf}{\mathscr{F}}\)
\(\:\)גופןmathfrak: אותיות גותיות לעוצמות\(\:\)
\(\newcommand{\MKfka}{\mathfrak{a}}\)
\(\newcommand{\MKfkb}{\mathfrak{b}}\)
\(\newcommand{\MKfkc}{\mathfrak{c}}\)
\(\:\)כתיבת סדרות במהירותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\newcommand{\MKseq}[3]{#1_{1}#2#1_{2}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKseqz}[3]{#1_{0}#2#1_{1}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseq}[5]{#1_{1}#2#3_{1}#4#1_{2}#2#3_{2}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseqz}[5]{#1_{0}#2#3_{0}#4#1_{1}#2#3_{1}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\Roman{page}\leftmark
הקדמה - קבוצות בנות-מנייה וסכומים אין-סופיים\Roman{page}
חשבון אינפיניטסימלי (2) -80132
מרצה: יורם לסט
מתרגלים: דניאל אופנר ומתן בן-אשר
סוכם ע"י: שריה אנסבכר
סמסטר א' תשפ"ג, האונ' העברית
אשמח לקבל הערות והארות על הסיכומים על מנת לשפרם בעתיד, כל הערה ולו הפעוטה ביותר (אפילו פסיק שאינו במקום או רווח מיותר) תתקבל בברכה; אתם מוזמנים לכתוב לי לתיבת הדוא"ל: sraya.ansbacher@mail.huji.ac.il.
הגדרה 1.1. נאמר שקבוצה \(A\) היא בת-מנייה אם קיימת פונקציה \(f:A\rightarrow\MKnatural\) שהיא חח"ע ועל (הפיכה).
\(\clubsuit\)
באופן שקול ניתן לומר ש-\(A\) היא קבוצה בת-מנייה אם ניתן לבנות סדרה אין-סופית שתכלול את כל איברי \(A\) ללא חזרות1אם \(A\) אין-סופית (ראו הגדרה להלן) ניתן לוותר על הדרישה שהסדרה לא תכלול חזרות: אם במקרה יחזור איבר כלשהו פעמיים פשוט נסיר את החזרות ונקבל תת-סדרה שעונה על ההגדרה. (אותה סדרה היא בעצם ההופכית של \(f\)2כזכור, סדרה היא פונקציה מהטבעיים אל הטווח המתאים.).
\(\clubsuit\)
באופן כללי זוהי ההגדרה של שוויון בין עוצמות של קבוצות, אם קיימת פונקציה הפיכה \(f:A\rightarrow B\) נאמר שהעוצמה של \(A\) שווה לעוצמה של \(B\) ונסמן \(\left|A\right|=\left|B\right|\).
\(\clubsuit\)
העוצמה של הטבעיים מסומנת ב-\(\aleph_{0}:=\left|\MKnatural\right|\) (קרי: אל"ף אפס).
\(\clubsuit\)
יש שקוראים גם לקבוצות סופיות "בנות-מנייה" ואז ההגדרה צריכה להיות שקיימת פונקציה \(f:A\rightarrow B\) חח"ע ועל כאשר \(B\subseteq\MKnatural\).
\(\clubsuit\)
ניתן גם להגדיר שקבוצה \(A\) היא סופית אם קיים \(n\in\MKnatural\) וקיימת פונקציה \(f:A\rightarrow\left\{ 1,2,3,\ldots,n\right\} \) שהיא חח"ע ועל, ואחרת היא אין-סופית; אנחנו לא לומדים עכשיו את תורת הקבוצות ולכן לא נעסוק בהבדל שבין שתי ההגדרות הללו.
\(\clubsuit\)
כמובן שגם איחוד של קבוצה בת-מנייה עם קבוצה סופית הוא קבוצה בת-מנייה.
\(\clubsuit\)
ממשפט זה נובע שלא רק שהטבעיים והשלמים הן קבוצות בנות-מנייה אלא שגם הרציונליים הם קבוצה בת-מנייה.
\(\clubsuit\)
אינטואיציה להוכחה מופיעה בעמוד הבא.
\(\clubsuit\)
לכל \(n\in\MKnatural\), מהיות \(A_{n}\) קבוצה בת-מנייה קיימת סדרה \(\left(n_{k}\right)_{k=1}^{\infty}\)3שימו לב שלא מדובר כאן בסדרה של טבעיים, הסדרה מכונה \(\left(n_{k}\right)_{k=1}^{\infty}\) משום שהיא הסדרה המתאימה לקבוצה \(A_{n}\). הכוללת את כל איברי \(A_{n}\) ללא חזרות; נסמן את האיבר ה-\(k\) בסדרה ה-\(n\)-ית ב-\(\left(n,k\right)\) ונסדר את איברי כל הסדרות כך (התמונה הימנית):
סידור איברי כל הסדרות (התמונה הימנית) וקיבוצם באלכסונים (התמונה השמאלית).
כעת נקבץ את האיברים באלכסונים (התמונה השמאלית): באלכסון הראשון יהיה האיבר \(\left(1,1\right)\), בשני \(\left(2,1\right)\) ו-\(\left(1,2\right)\), בשלישי \(\left(3,1\right)\), \(\left(2,2\right)\) ו-\(\left(1,3\right)\) וכן הלאה; כל אלכסון כזה הוא סופי ולכן (ע"פ הטענה הקודמת) האיחוד של כל האיברים הוא קבוצה בת-מנייה.
הגדרה 1.2. נאמר שקבוצה \(A\) היא אין-סופית אם קיימת פונקציה חח"ע ועל מ-\(A\) לתת-קבוצה ממש שלה (כלומר תת-קבוצה שאינה \(A\) עצמה), אחרת נאמר ש-\(A\)סופית.
טענה 1.3. תהא \(A\) קבוצה בת-מנייה ותהא \(B\subseteq A\) קבוצה אין-סופית, גם \(B\) בת-מנייה.
טענה 1.4. תהיינה \(A,B\) קבוצות בנות-מנייה, גם \(A\cup B\) היא קבוצה בת-מנייה.
מסקנה 1.5. כל איחוד סופי של קבוצות בנות-מנייה הוא קבוצה בת-מנייה.
טענה 1.6. תהא \(\left(A_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה של קבוצות סופיות, האיחוד של כל הקבוצות בסדרה הוא קבוצה סופית או בת-מנייה.
משפט 1.7. תהא \(\left(A_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה של קבוצות בנות-מנייה, מתקיים גם:\[
\left|\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\right|=\aleph_{0}
\]כלומר האיחוד האין-סופי של הקבוצות האין-סופיות בסדרה הוא קבוצה בת-מנייה.
הוכחה. נשים לב לכך שמתקיים:\[
\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}=\bigcup_{n=2}^{\infty}\left(\bigcup_{k=1}^{k=n}\left\{ \left(k,n-k\right)\right\} \right)=\bigcup_{n=2}^{\infty}\left(\bigcup_{k+j=n}\left\{ \left(k,j\right)\right\} \right)
\]והרי לכל \(n\in\MKnatural\) הקבוצה \(\bigcup_{k+j=n}\left\{ \left(k,j\right)\right\} \) (שהיא האלכסון ה-\(n-1\)-י באינטואיציה) היא קבוצה סופית ולכן ע"פ הטענה הקודמת (1.6) האיחוד שלהן הוא קבוצה בת-מנייה.
משפט 1.8. לכל \(a,b\in\MKreal\) המקיימים \(a<b\) הקטע \(\left[a,b\right]\) הוא קבוצה שאינה בת-מנייה.
הוכחה. יהיו \(a,b\in\MKreal\) כך ש-\(a<b\). נניח בשלילה ש-\(\left[a,b\right]\) הוא קבוצה בת-מנייה, א"כ קיימת סדרה \(\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) הכוללת את כל איברי \(\left[a,b\right]\) ללא חזרות. נתבונן בקטעים הבאים:\[
\left[a,a+\frac{b-a}{3}\right],\ \left[a+\frac{b-a}{3},b-\frac{b-a}{3}\right],\ \left[b-\frac{b-a}{3},b\right]
\]כמובן שהאיחוד שלהם שווה ל-\(\left[a,b\right]\), נשים לב שלפחות אחד מהם אינו מכיל את \(x_{1}\), א"כ יהי \(I_{1}\) אחד מן הקטעים שאינו מכיל את \(x_{1}\); נחלק את \(I_{1}\) לשלושה קטעים סגורים כמקודם ונסמן ב-\(I_{2}\) אחד מהם שאינו כולל את \(x_{2}\), וכן הלאה: לכל \(1<n\in\MKnatural\) נחלק את הקטע \(I_{n-1}\) לשלושה קטעים ונסמן ב-\(I_{n}\) אחד מאלו המקיים \(x_{n}\notin I_{n}\). מהלמה של קנטור נובע שקיים \(c\in\left[a,b\right]\) כך שלכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים \(c\in I_{n}\) (ומכאן ש-\(c\neq x_{n}\)), כלומר מצאנו איבר ב-\(\left[a,b\right]\) שאינו מופיע בסדרה \(\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) בסתירה להנחת השלילה.
2 סכומים אין-סופיים
הגדרה 2.1. תהא \(A\) קבוצה כלשהי (לאו דווקא תת-קבוצה של \(\MKreal\)) ותהא \(f:A\rightarrow\left[0,\infty\right)\) פונקציה; נסמן4זהו סימון פורמלי בלבד, לא ברור שהקבוצה אכן חסומה מלעיל ולכן ייתכן שהביטוי אינו מוגדר.:\[
\sum_{a\in A}f\left(a\right):=\sup\left\{ \sum_{k=1}^{n}f\left(a_{k}\right):a_{1},a_{2},...,a_{n}\in A,\ n\in\MKnatural\right\}
\]ונקרא ל-\(\sum_{a\in A}f\left(a\right)\) (אם הוא מוגדר) הסכום של ערכי\(f\)על פני כל איברי\(A\).
\(\clubsuit\)
הגדרה זו אינה סותרת את הגדרת סכום של איברי קבוצה סופית אלא מכלילה אותה.
\(\clubsuit\)
למה לא הגדרנו כך (עבור \(A\subseteq\left[0,\infty\right)\)):\[
\sum_{a\in A}a:=\sup\left\{ \begin{array}{c|c}
\begin{alignedat}{1}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\end{alignedat}
& a_{1},a_{2},...,a_{n}\in A,\ n\in\MKnatural\end{array}\right\}
\]בשביל מה להכניס את \(f\) לכאן? שלוש סיבות: כדי להשיג מקרה כללי יותר (\(A\) אינה בהכרח תת-קבוצה של \(\MKreal\)), כדי לאפשר חזרות (\(A\) היא קבוצה ולא תאפשר סכימה של אותו איבר פעמיים) ומכיוון שבהמשך נדבר על טורים של סדרות (והלא סדרה היא סוג של פונקציה).
\(\clubsuit\)
בהינתן קבוצה \(A\) ופונקציה \(f:A\rightarrow\left[0,\infty\right)\) אם נסמן \(\widetilde{A}:=\left\{ \widetilde{a}\in A:f\left(\widetilde{a}\right)\neq0\right\} \) נקבל:\[
\sum_{\widetilde{a}\in\widetilde{A}}f\left(\widetilde{a}\right)=\sum_{a\in A}f\left(a\right)
\]וזאת ישירות מההגדרה: כל סכום סופי של איברים מ-\(\left\{ f\left(a\right):a\in A\right\} \) מופיע בקבוצת הסכומים הסופיים של \(\left\{ f\left(\widetilde{a}\right):\widetilde{a}\in\widetilde{A}\right\} \) (ולהפך) שהרי האפסים אינם משנים את הסכום (מדובר בסכום סופי) ומכאן שהחסמים העליונים של קבוצות אלו שווים.
\(\clubsuit\)
מהטענה האחרונה נובע שסכומים אין-סופיים (של פונקציות) על פני קבוצות שאינן בנות מנייה אינם "מעניינים"5מה קורה אם מאפשרים לטווח של \(f\) לכלול מספרים שליליים? האם גם אז זה לא מעניין? אמנם יש להגדיר זאת כראוי ולא ברור כיצד לעשות זאת אך בכל זאת... ולכן נתמקד בסכומים של קבוצות בנות מנייה, וליתר נוחות בסכומים של סדרות (או בשמם: טורים, זהו הנושא הבא).
הגדרה 2.2. קבוצה של מספרים אי-שליליים \(A\) תקרא סכימה (כלומר ניתנת לסכימה, שאפשר לסכום על פני כל איבריה) אם החסם העליון הבא מוגדר:\[
\sup\left\{ \begin{array}{c|c}
\begin{alignedat}{1}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\end{alignedat}
& a_{1},a_{2},...,a_{n}\in A,\ n\in\MKnatural,\ \forall i,j:i\neq j\rightarrow a_{i}\neq a_{j}\end{array}\right\}
\]
טענה 2.3. אם קבוצה \(A\) היא היא סכימה אז לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) הקבוצה \(\left\{ a\in A\mid a\geq\varepsilon\right\} \) היא סופית.
טענה 2.4. תהא \(A\) קבוצה ותהא \(f:A\rightarrow\left[0,\infty\right)\) פונקציה, אם הסכום של ערכי \(f\) על פני כל איברי \(A\) קיים אז הקבוצה \(\left\{ a\in A:f\left(a\right)\neq0\right\} \) היא סופית או בת-מנייה.
הוכחה. נניח שהסכום המדובר אכן קיים, מהגדרת \(f\) לכל \(a\in A\) המקיים \(f\left(a\right)\neq0\) מתקיים \(f\left(a\right)>0\) וא"כ קיים \(n\in\MKnatural\) כך ש-\(f\left(a\right)\geq\frac{1}{n}\). לכל \(n\in\MKnatural\) נגדיר \(A_{n}:=\left\{ a\in A:f\left(a\right)\geq\frac{1}{n}\right\} \), מהטענה הקודמת (2.3) נובע ש-\(A_{n}\) היא קבוצה סופית לכל \(n\in\MKnatural\), נשים לב לכך שמתקיים:\[
\left\{ a\in A:f\left(a\right)\neq0\right\} =\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}
\]ולכן (ע"פ טענה1.6) מדובר בקבוצה סופית או בת-מנייה.
רוצים לפרגן לי על בניית האתר וכתיבת הסיכומים? אתם מוזמנים לתת טיפ.פורמטים נוספים:
#scrollButton {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
cursor: pointer;
background-color: #084149;
opacity: 80%;
}
#scrollImage {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
opacity: 80%;
}
function scrollToTop() {
window.scrollTo({ top: 0, behavior: 'smooth' });
}
דפי האתרדף הביתאודותצור קשרמפת אתרענפים מתמטייםהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםאקסיומת השלמותסיכומי הרצאות במתמטיקהדף הביתתרומהאודותהקדשהמפת אתרהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםצור קשרעודלאתר הקודםsrayaa.comעִבְלִיקְסתנ"ך ברויאר מוקלט
( function() {
var skipLinkTarget = document.querySelector( 'main' ),
sibling,
skipLinkTargetID,
skipLink;
// Early exit if a skip-link target can't be located.
if ( ! skipLinkTarget ) {
return;
}
/*
* Get the site wrapper.
* The skip-link will be injected in the beginning of it.
*/
sibling = document.querySelector( '.wp-site-blocks' );
// Early exit if the root element was not found.
if ( ! sibling ) {
return;
}
// Get the skip-link target's ID, and generate one if it doesn't exist.
skipLinkTargetID = skipLinkTarget.id;
if ( ! skipLinkTargetID ) {
skipLinkTargetID = 'wp--skip-link--target';
skipLinkTarget.id = skipLinkTargetID;
}
// Create the skip link.
skipLink = document.createElement( 'a' );
skipLink.classList.add( 'skip-link', 'screen-reader-text' );
skipLink.href = '#' + skipLinkTargetID;
skipLink.innerHTML = 'לדלג לתוכן';
// Inject the skip link.
sibling.parentElement.insertBefore( skipLink, sibling );
}() );
BoundingBox 0bp 0bp 378bp 378bp\(\:\)\(\:\)\(\:\)\(\:\)
סידור איברי כל הסדרות (התמונה הימנית) וקיבוצם באלכסונים (התמונה השמאלית).